LeetCode 75,90%的人想不出最佳解的簡單題

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今天是LeetCode專題的44篇文章,我們一起來看下LeetCode的75題,顏色排序 Sort Colors。

這題的官方難度是Medium,通過率是45%,點贊2955,反對209(國際版數據),從這份數據上我們大概能看得出來,這題的難度不大,並且點贊遠遠高於反對,說明題目的質量很不錯。事實上也的確如此,這題足夠簡單也足夠有趣,值得一做。

題意

給定一個n個元素的數組,數組當中的每一個元素表示一個顏色。一共有紅白藍三種顏色,分別用0,1和2來表示。要求將這些顏色按照大小進行排序,返回排序之後的結果。

要求不能調用排序庫sort來解決問題。

桶排序

看完題目應該感受到了,如果沒有不能使用sort的限制,這題毫無難度。即使加上了限制難度也不大,我們既然不能調用sort,難道還不能自己寫個sort嗎?Python寫個快排也才幾行而已。

自己寫sort當然是可以的,顯然這是下下策。因為元素只有3個值,互相之間的大小關係也就只有那麼幾種,排序完全沒有必要。比較容易想到,我們可以統計一下這三個數值出現的次數,幾個0幾個1幾個2,我們再把這些數拼在一起,還原之前的數據不就可以了嗎?

這樣的確可行,但實際上這也是一種排序方案,叫做基數排序,也稱為桶排序,還有些地方稱為小學生排序(大概是小學生都能懂的意思吧)。基數排序的思想非常簡單,我們創建一個數組,用它的每一位來表示某個元素是否在原數組當中出現過。出現過則+1,沒出現過則一直是0。我們標記完原數組之後,再遍歷一遍標記的數組,由於下標天然有序,所以我們就可以得到排序之後的結果了。

如果你還有些迷糊也沒有關係,我們把代碼寫出來就明白了,由於這題讓我們提供一個inplace的方法,所以我們在最後的時候需要對nums當中的元素重新賦值。

class Solution:
    def sortColors(self, nums: List[int]) -> None:
        """  Do not return anything, modify nums in-place instead.  """
        bucket = [0 for _ in range(3)]
        for i in nums:
            bucket[i] += 1

        ret = []
        for i in range(3):
            ret += [i] * bucket[i]

        nums[:] = ret[:]

和排序相比,我們只是遍歷了兩次數據,第一次是遍歷了原數組獲得了其中0,1和2的數量,第二次是將獲得的數據重新填充回原數組當中。相比於快排或者是其他一些排序算法的耗時,桶排序只遍歷了兩次數組,明顯要快得多。但遺憾的是這並不是最佳的方法,題目當中明確說了,還有隻需要遍歷一次原數組的方法。

two pointers

在我們介紹具體的算法之前,我們先來分析一下問題。既然顏色只有三種,那麼當我們排完序之後,整個數組會被分成三個部分,頭部是0,中間是1,尾部是2。

我們可以用一個區間來收縮1的範圍,假設我們當前區間的首尾元素分別是l和r。當我們讀到0的時候,我們就將它和l交換,然後將l向後移動一位。當我們讀到2的時候,則將它和r進行交換,將r向左移動一位。也就是說我們保證l和r之間的元素只有1。

我們之前曾經介紹過這種維護一個區間的做法,雖然都是維護了一個區間,但是操作上是有一些區別的。之前介紹的two pointers算法,也叫做尺取法,本質上是通過移動區間的右側邊界來容納新的元素,通過移動左邊界彈出數據的方式來維護區間內所有元素的合法性。而當前的做法中,一開始獲得的就是一個非法的區間,我們通過元素的遍歷以及區間的移動,最後讓它變得合法。兩者的思路上有一些細微的差別,但形式是一樣的,就是通過移動左右兩側的邊界來維護或者是達到合法。

class Solution:
    def sortColors(self, nums: List[int]) -> None:
        """  Do not return anything, modify nums in-place instead.  """
        l, r = 0, len(nums)-1
        i = 0
        while i < len(nums):
            if i > r:
                break
   # 如果遇到0,則和左邊交換
            if nums[i] == 0:
                nums[l], nums[i] = nums[i], nums[l]
                l += 1
            # 如果遇到2,則和右邊交換
            # 交換之後i需要-1,因為可能換來一個0
            elif nums[i] == 2:
                nums[r], nums[i] = nums[i], nums[r]
                r -= 1
                continue
            i += 1

這種方法我們雖然只遍歷了數組一次,但是由於交換的次數過多,整體運行的速度比上面的方法還要慢。所以遍歷兩次數組並不一定就比只遍歷一次要差,畢竟兩者都是的算法,相差的只是一個常數。遍歷的次數只是構成常數的部分之一。

除了這個方法之外,我們還有其他維護區間的方法。

維護區間

接下來要說的方法非常巧妙,我個人覺得甚至要比上面的方法還有巧妙。

我們來假想一下這麼一個場景,假設我們不是在原數組上操作數據,而是從其中讀出數據放到新的數組當中。我們先不去想應該怎麼擺放這個問題,我們就來假設我們原數組當中的數據已經放好了若干個,那麼這個時候的新數組會是什麼樣?顯然,應該是排好序的,前面若干個0,中間若干個1,最後若干個2。

那麼問題來了,假設這個時候我們讀到一個0,那麼應該怎麼放呢?為了簡化敘述我們把它畫成圖:

我們假設藍色部分是0,綠色部分是1,粉色部分是2。a是0最右側的下標,b是1部分最右側的下標,c是2部分最右側的下標。那麼這個時候,當我們需要放入一個0的時候,應該怎麼辦?

我們結合圖很容易想明白,我們需要把0放在a+1的位置,那麼我們需要把後面1和2的部分都往右側移動一格,讓出一格位置出來放0。我們移動數組顯然帶來的開銷會過於大,實際上沒有必要移動整個部分,只需要移動頭尾元素即可。比如1的部分左側被0佔掉了一格,那麼為了保持長度不變,右側也需要延伸一格。同理,2的部分右側也需要延伸一格。那麼整個操作用代碼來表示就是:nums[a+1] = 0,nums[b+1] = 1, nums[c+1] = 2。

假設我們讀入的數是1,那麼我們需要把b延長一個單位,但是這樣帶來的後果是2的部分被侵佔,所以需要將2也延長,補上被1侵佔的一個單位。如果讀到的是2,那麼直接延長2即可,因為2後面沒有其他顏色了。

假設我們有一個空白的數組,我們可以這麼操作,但其實我們沒有必要專門創建一個數組,我們完全可以用原數組自己填充自己。因為我們從原數組上讀取的數和擺放的數是一樣的,我們直接把数字擺放在原數組的頭部,佔用之前讀取的數即可。

光說可能還有些迷糊,看下代碼馬上就清楚了:

class Solution:
    def sortColors(self, nums: List[int]) -> None:
        """  Do not return anything, modify nums in-place instead.  """
        # 記錄0,1和2的末尾位置
        zero, one, two = -1, -1, -1
        n = len(nums)
        for i in range(n):
            # 如果擺放0
            # 那麼1和2都往後平移一位,讓一個位置出來擺放0
            if nums[i] == 0:
                nums[two+1] = 2
                nums[one+1] = 1
                nums[zero+1] = 0
                zero += 1
                one += 1
                two += 1
            elif nums[i] == 1:
                nums[two+1] = 2
                nums[one+1] = 1
                one += 1
                two += 1
            else:
                nums[two+1] = 2
                two += 1

總結

到這裏,這道題的解法基本上都講完了。

相信大家也都看出來了,從難度上來說這題真的不難,相信大家都能想出解法來,但是要想到最優解還是有些困難的。一方面需要我們對題目有非常深入的理解,一方面也需要大量的思考。這類題目沒有固定的解法,需要我們根據題目的要求以及實際情況自行設計解法,這也是最考驗思維能力以及算法設計能力的問題,比考察某個算法會不會的問題要有意思得多。

希望大家都能從這題當中獲得樂趣,如果喜歡本文,可以的話,請點個關注,給我一點鼓勵,也方便獲取更多文章。

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